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明德讲堂M668报道:我研究数学的经验

  • 图文/郑锌煌
  • 创建于 2020-12-25
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2020122215:30,明德讲堂M668期讲座在国科大雁栖湖校区国际会议中心举行,著名美籍华裔数学家、哈佛大学数学系和物理系教授、清华大学丘成桐数学科学中心主任、北京雁栖湖应用数学研究院院长丘成桐应中国科学院大学李树深校长之邀请,来到雁栖湖校区,中国科学院大学吴岳良校长主持本场讲座。

讲座前丘先生同吴校长、汪前进教授会晤

本次讲座,丘成桐院士与同学们分享了自己的学术经历,畅谈从事科学研究所需要的个人素养。

吴校长发言

做学问要有大胸襟。“父亲教我古文,读叔孙豹说的「立德,立功,立言」三不朽,又读到史记孔子世家赞:‘天下君王至于贤人众矣,当时则荣,没则己焉。孔子布衣,传十余世,学者宗之。自天子王侯,中国言六艺者,皆折中于夫子,可谓至圣矣’。我想这样子的人生才堪称伟大,‘虽不能至,然心向往之’!对我来说,这是培养做大学问胸襟的第一步。如何去培养好数学家的胸襟,确是极为重要的问题。一般的中国数学家缺乏宏观的科学观,他们的心灵已经被种种帽子和院士的荣誉束缚,对于大自然赐予我们的真和美,已经模糊不清。其实哲学,文学,音乐等学科都可以启发我们,让我们的心灵对大自然的真和美产生共鸣。能够引起共鸣的作品水平必须要高尚,中国古代文学水平极高,诗词歌赋,古文,小说,史书都能摇荡人心,陶冶性情。数学史更是积聚了先贤的想法,尤其是文艺复兴以来的数学家,值得我们学习的极多,不幸的是中国谈数学史的不懂得近四百年来数学的发展,他们谈的历史对于我们研究近代数学毫无裨益。我们要花更多时间去组织研究近代大学者的历史和思想源流。”

讲座现场

“大家都可能听过清华大学四大导师之一王国维提出的做大学问的三大境界:第一境界他引晏殊的词:昨夜西风凋碧树,独上高楼,望尽天涯路;第二境界是柳永的词:衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴;第三境界:蓦然回首,那人却在灯火阑珊处。这个看法,也道尽了做深入数学的境界。我一生学问也深受这个看法的影响!做大学问,必须要看得远,看得宽,望尽天涯路。但是也要放弃小利,眼前碧树凋榭了,眼界才能大开!但是终究要用功,为学问消得人憔悴,才能有成就。成功的结果可能悄悄而来,其实并非偶然的事!但是现在学者在乎这三个境界吗?”

“不幸的是,现在学者做学问的三个阶段,和王国维心目中的大异其趣。一、中国的小孩子,受到父母的影响,中学以前以得到奥数金奖为人生目的,事实上奥数并不全面,我从前训练过一位两次奥数金牌并且满分的学生,基础不够全面,终究不能成才。二、学生进入名校以后,不是想出国,就是想走一条会赚钱的道路,真正有志于做学问的学生其实不多。毕业以后在学校工作的学者希望弄个帽子,没有帽子就以为天塌下来,一生没有前途了。三、有了帽子,剩下来的目标就是竞选院士,院士是中国学者的终极目标。做了院士,就真的有学问了,坐在台上高人一等。谁都得对院士鞠躬,何等快意。”

先生演讲

“其实,除了王国维说的三大境界以外,古人读书的态度还是有很多值得学习的地方。唐朝韩愈说:‘将蕲至于古之立言者,则毋望其速成,毋诱于势利,养其根而俟其实,加其膏而希其光。根之茂者其实遂,膏之沃者其光晔。仁义之人,其言蔼如也’这是做大学问的基本态度。”

“如何养其根?除了上述要多看多读外,还要多问。中国家长一般不喜欢孩子没有礼貌,不许随便发问。上课时,有如一潭死水,和美国名校的态度刚好相反。我听说犹太人教育小孩,从两三岁开始,每日必须要问一个问题。有了这个习惯后,才能够寻根到底,找到事物的根源。我想我在数学上比较成功的原因是因为我从小就习惯于问问题,问题支持我的好奇心,有了强烈的好奇心,做学问会无往而不利。加其膏则是不断地多读书,多和学者交流。”

“至于创新,我们可以参考韩愈的说法:‘当其取于心而注于手也,汩汩然来矣。其观于人也,笑之则以为喜,誉之则以为忧,以其犹有人之说者存也。如是者亦有年,然后浩乎其沞然后矣。吾又惧其杂也,迎而距之,平心而察之。其皆醇也,然后肆焉。’要创新,必定能够专心于学问本身而不是处处关心别人的评论,多拿两顶帽子而已。就如酿酒,其皆醇也,才能够见到新的境界。不幸的是,近代不少学者在学问还未成熟的时候,就由学校,甚至政府通过媒体大肆宣传做出来的小结果,自欺欺人,对自己对学术界都没有什么好处。”

讲座现场

“我少年时,志向不少,确是希望‘究天人之际,通古今之变,成一家之言’。志向大则大矣,但要通济彼岸谈何容易!想我父亲为了研究中国哲学,花了十多年光阴研究西方和印度哲学。可见要干大事,必须要花工夫,做好严谨的准备工作。成长后从事数学研究,采取的就是这种态度。我的成名作是证明卡拉比猜想,我对卡拉比猜想一见钟情,觉得能够完成这项工作,‘死且不朽’!姑不论它真确与否,这种激情支撑着我,前后花了六年工夫去攻克它。”

“在这里,我需要指出,我选择卡拉比猜想这个问题,不是因为它有名气。事实上,我“泥足深陷“于这个问题时,我的老师陈省身先生说,数学上的猜测多如牛毛,你为什么要去做这个问题?陈省身先生是二十世纪伟大的几何学家。他在一九四五年建立的陈类是规范理论中最重要的概念,在理论物理中也举足轻重。即使到了今天,陈类仍然在科学论文中屡见不鲜,可谓流芳百世了。陈先生研究几何从拓扑学入手,我则是从几何分析即偏微分方程的角度来看问题。陈类提供几何的不变量,卡拉比猜想则是通过偏微分方程来深究第一陈类,从而找到一类重要的几何物体,足以描述超对称空间中的物质分布。为什么当时很多几何学者都对卡拉比猜想有兴趣?因为它使人们对空间的里奇曲率(Riccicurvature)有深刻的理解。曲率这概念在几何中至为重要,广义相对论在描述时空时就得用到它。我下了决心,无论卡拉比猜测是对是错,非解决它不可。”

“开始研究卡拉比猜想时,总是试图证明它不对,经过三年时间,才发现走了冤枉路。纵然如此,但我仍旧坚持将问题做下去。重大挫折后的反省,使我看到成功的曙光。正如韩愈所说:‘苟余行之不迷,虽颠沛其何伤!’成功不是一蹴而就的,校正了方向后,还要花上三年的努力,终于在新婚两个星期后,完整地解决了这个问题。有些媒体问我当时的感觉,我用两句宋词答复:‘落花人独立,微雨燕双飞。’后来,我填了一首叫临江仙的词,描述我当时的心情。”

丘先生讲述卡拉比猜想证明的过程

“卡拉比猜想的解决,让人们对第一陈类的几何有了更深入的认识。那时我在UCLA数学系访问,刚好哈佛大学的David Mumford到了南加州访问,他是菲尔兹奖得主,当代几何学大师。他要给两个演讲,最后一个在加州大学尔湾分校,离我家两个半小时的车程。我当时正在想如何把卡拉比猜想用到代数几何上去,于是老远的驾了我的老爷车去听课。没有想到Mumford在讨论班中,指出俄罗斯代数几何学家的一个突破,并由此提出一个猜想,而这猜想竟是我给卡拉比猜想找反例时推导过的一个不等式!我把结果告诉Mumford,他很惊讶。当时我虽在微分几何已经崭露头角,在代数几何圈子却藉藉无名。回家后,我将想法写出来寄给Mumford,并且指出同样的方法可以解决代数几何另外一个老问题,那是意大利数学家Severi提出的重要猜想。Mumford找了专家验证无误,宣布以后,震惊了数学界。这方法建立了一道由非线性微分方程到微分几何再到代数几何的桥梁。全新的观点解决了一连串数学上的难题,促使‘核心数学家’对分析学另眼相看,这次成功使我士气大振。我想,数学上有两个重要分枝也可以通过分析学结合起来,它们一个是拓扑学,一个是数学物理。”

讲座现场

“在那一年,我和伯克利的老同学Meeks合作,用三维拓扑空间的方法解决了一个古典的极小子流形的奇异点问题。然后反过来,用极小子流形来解决三维空间的拓扑问题。紧接着我和孙理察用几何分析解决了广义相对论中一个古老问题:正质量猜想。那是一九七七年的事。正质量猜想在爱因斯坦创造广义相对论时就出现了。爱因斯坦和希尔伯特都曾讨论在广义相对论中如何定义能量。这个问题的出现有很多原因,基本是由于引力场的方程式是非线性的,同时在一般的引力场中,没有任何的对称群作用。结果是古典物理学中定义能量的方法不能用到广义相对论上。爱因斯坦花了不少工夫,在孤立的引力系统下,构造了大家都觉得满意的能量的定义。紧跟着的一个重要问题:是否一如其他物理系统,这个能量是正的?为什么爱因斯坦问这个问题呢?因为负能量的引力系统会导致整个系统倒塌,这样一来,广义相对论就不能够描述现实世界了。”

“这个问题困扰物理学家多年,在很长的时间里,广义相对论每年的年会中,都有一组学者专门讨论这问题。一九五七年,某著名广义相对论学者宣称物理学家要正视引力场出现负能量的可能性!一九七三年史丹福的国际几何学大会,邀请了芝加哥大学物理系的名教授Geroch作报告。我就是在这场演讲中第一次听到这个问题的,然而苦思其中关键毫无头绪,直到一九七七年的秋天,和理察在伯克利校园散步时,才找到所需的一个重要不等式,从而建立了正质量猜想中的第一个重要情形。我们都很年轻,解决难题的门户稍开,就勇往直前,一年内引进了新的方法,彻底地解决了这个问题。当时广义相对论学家,其中包括我的中学同学,毫不相信,他率直地说:两个无聊的数学家,居然跑到我们地头大言不惭,你们究竟搞清楚了问题没有?不久,相对论权威霍金说我们的结果有道理,他邀请我到剑桥去访问,见面交流,得益良多,而物理学家也不再轻视我们了。”

丘先生讲述正质量猜想的证明

“在英国科学家Penrose和霍金的著名工作以前,古典广义相对论并没有完好的数学基础。当时新西兰相对论学者找到可以旋转的黑洞方程的解,他们随即证明在这些解中出现的奇异点是稳定的,从而奠定了黑洞理论的基础。但是黑洞如何形成,除了一般的猜测外,问题并没有解决。理察和我利用证明正质量猜想的办法,第一次严格地证明了当物质的密度在某个半径内足够大时,黑洞就会形成。”

“为了更仔细地描述这些深入的引力问题,一九八零年Penrose指出核心是找到拟局部质量的合理定义。几乎所有广义相对论的学者都考虑过这问题。Bartnik首先提出一个很好的定义。直到十多年前,王慕道和我在Brown York和刘秋菊及我的定义上完成了这项工作。这工作可以说是几何分析的重要成果。由一九七三年第一次接触到广义相对论的前沿,到如今差不多五十年了,跟着我们这个方向走下去的学者不在少数。近几年来,我和几位物理学和天文学教授在哈佛大学成立了黑洞研究所,参加者甚众,讨论极为踊跃。”

“二零二零年的诺贝尔物理学奖颁给三位研究黑洞的学者,其中一人为Roger Penrose。主要是他了解黑洞形成的机制。一般讨论黑洞的文章都会说当物质密度太大时,星球会倒塌成为黑洞。Penrose虽然在黑洞理论有伟大的贡献。事实上,他并没有证明这个机制,这个机制是由理察和我在一九八三年首度完成的。我和理察的工作吸引了很多物理学家的注意。一九八零年我在普林斯敦高等研究所当教授时,和大批物理学家来往,开讨论班。一九八零年,我和HorowitzStromingerWitten等人讨论时都说过,由卡拉比猜想构造出来的空间自然而又漂亮,又满足爱因斯坦的场方程,它们在物理上应该占有重要的位置,但是他们坚决不信。直到一九八四年,弦理论在理论物理中炙手可热,他们遂把这个空间命名为卡拉比-丘空间,一大批物理学家参与这个空间的研究,硕果累累,甚至反过来影响到数学主流的发展了。”

“除了上述基础科学的研究外,这三十年来我也花了不少工夫研究应用数学,约在八零年代,我想研究一个膜在激烈振动时,不动的地方有多长。我发现计算高频率振动的膜并不容易,没有准确的算法。当时美国政府的基金希望我搞一些应用的工作。于是,我用政府经费聘请了一位从事MIT来的博士后,叫陆雅言的,开始做这种计算。在二维空间的结果还不错。以后有些人用我们的方法做计算,但是他们不大愿意提我们的工作。由于我们需要大型矩阵的计算,我们也在这方面做了研究。在九十年代中叶,我弟弟丘成栋对于非线性控制理论有很大兴趣,我们合作解决了一个重要的计算问题。我认为这是一个有实用的工作。在差不多时间,在Bellcore的金芳蓉休假,到哈佛大学访问,和我开始长时间合作研究图论的问题,我们的观点仍然是利用几何分析的方法,参加的朋友有林勇,Grigoryan, Gabor Lippner, Paul Horn等人。图论比我从前想象得有意思。由于近代计算机的发展,图论中出现不少有意义的理念,我们期待它有更多重要的理论。”

“在九七年时,哈佛大学念计算机的顾险峰原来的导师离开哈佛大学,他跑来找我做研究图像处理的问题,我建议利用古典的共形几何方法到图像学,这个观点以后成为图像学中重要的分枝。罗锋、雷乐铭、林文伟等人都有重要的贡献,可以用在医学和其他应用科学。这几年顾险峰和我又发现从前郑绍远和我在七十年代做的几何方法可以用到人工智能理论上。”

同学提问

“总的来说,数学是理论和应用科学之母,在研究数学、及数学和其他科学的关系时,可以窥见天地做物之美,科技之用。当政者不可不知,为人父母者不可不见。”

主讲人简介:丘成桐教授是著名美籍华裔数学家。现任哈佛大学数学系教授、物理系教授,清华大学丘成桐数学科学中心主任,北京雁栖湖应用数学研究院院长。1976年,丘成桐教授证明了卡拉比猜想(Calabi Conjecture)与爱因斯坦方程中的正质量猜想(Positive Mass Conjecture),并对微分几何和微分方程进行重要融合,影响重大。其后,继续在几何、拓扑学、物理学上做出许多成就。1982年,荣获国际数学界最高荣誉的菲尔兹奖 (Fields Medal),即相当于数学界的诺贝尔奖。2018年,荣获马塞尔·格罗斯曼奖。丘成桐教授从2011年起,担任“清华学堂人才培养计划”数学班的首席教授,指导推进清华大学数学学科建设,培养和引进一批杰出数学人才和优秀青年教师,组织举办一系列高层次国际学术活动,进一步提升清华大学数学学科整体水平,增强了中国与国外著名数学家之间的交流、合作与学术研讨。

 

【图文/郑锌煌