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“科学与人文讲座”2017年第10期报道: 抽象、概念和真——逻辑直观与形式结果

  • 王广超
  • 创建于 2017-06-17
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2017616日上午930分,中国科学院大学人文学院“科学与人文讲座”第10期在中关村校区S104教室如期开讲。北京大学哲学系邢滔滔副教授应邀为大家作了题为“抽象、概念和真——逻辑直观与形式结果”的报告,国科大人文学院郝刘祥教授担任了此次讲座的主持人。

邢滔滔教授的报告主要分为六部分。第一部分提出概念、类、外延等基本概念,第二部分介绍对角线直观,第三至第六部分依次讲述了康托尔对角线定理、罗素悖论、斯塔基定理和哥德尔定理。

邢教授从关于“多上之一”的论证开始此次演讲。“多上之一”即引入“性质”来解释个体的相似,比如很多东西都是白的,那么“……是白的”就是共有的性质。邢教授将“多上之一”称为“概念”。每个“一都是从某个“多”抽象而来的,因此每个概念(“一”)对应一个类(“多”),即为概念的外延。严格来说,概念F的外延={x:F(x)=}这个类。因此会有个体、个体的类、个体的类的类……从类的角度看,“这只粉笔是白的”是真的,iff(当且仅当)这只粉笔∈(属于)白类。“白是一种颜色是真的”,iff白∈颜色类……这是西方传统世界观和思想方式的基本框架,逻辑的根本任务之一是澄清这个框架结构。

随后,邢老师介绍了对角线直观。随便取两个(不同的)东西,用10代表,如表1

1

1 0 0 1 0 0 1 1 …

1 1 1 0 1 1 1 0 …

0 0 1 0 1 1 1 1 …

标红的数字是每一行与对角线的“同位交点”。根据二值原理,即任何命题非真即假(排中律),但不能既真又假(矛盾律),可以得出一条基本定理:此表中不存在一行,恰好构成对角线的反转序列(和对角线上的数字正好相反)。因为如果存在这样的序列,那么此序列的“同位交点”既是1又是0,明显矛盾。

利用这个对角线直观,可以得出康托尔定理。“自然数”的外延是N={0,1,2,…},称一个从N{01}的函数为N-函数,每一个N-函数是一个关于自然数的概念,其外延是N的一个子集,试用自然数把N-函数“数出来”,如表2

2

f0f0 (0)  f0 (1)  f0(2)…

f1f1(0)f1(1)f1(2)…

f2f2(0)f2(1)f2(2)…

对角线fx(x)f0 (0)f1 (1)f2 (1)……仍是一个N-函数,反转函数1-fx(x)也是,根据“基本定理”,反转函数不在表2中,所以,N-函数多于自然数(N的子集多于自然数)。根据这个推理,就可以得到康托尔定理:对于任意类AA-函数(A-概念、A-子类)多于A中元素。

考虑“概念”这个概念,令C为所有概念组成的类,那么C的数目有多少?一方面根据康托尔定理,C-概念多于C中元素;另一方面,C-概念不多于C中元素(C已包含所有概念),明显矛盾,这是罗素悖论的一种表达。对于这个悖论罗素的解决方案是,对角线“概念”f(f)是由全体概念定义的,因此不能再成为一个概念,否则其定义将指射本身,而导致恶性循环。

根据以上推理方式,还能够推出应用于形式语言的塔斯基定理,以及将“真”与“假”替换为“可证”和“不可证”之后得到的哥德尔第一不完全性定理。逻辑的推理过程很复杂,但是邢教授只描述技术性结果背后的直观想法,试图提供一个范例,显示直观与形式的互动,以及哲学、逻辑与数学的某种统一性。

报告结束后,邢教授与在座师生进行了互动交流。讲座在热烈的掌声中圆满结束。

 

【文/邵鹏,图/何涓】

【主讲人简介】

邢滔滔,北京大学本科、硕士、博士,现为北京大学哲学系副教授。研究领域为逻辑学、数学哲学与宗教哲学。