2017年6月16日上午9点30分，中国科学院大学人文学院“科学与人文讲座”第10期在中关村校区S104教室如期开讲。北京大学哲学系邢滔滔副教授应邀为大家作了题为“抽象、概念和真——逻辑直观与形式结果”的报告，国科大人文学院郝刘祥教授担任了此次讲座的主持人。
邢滔滔教授的报告主要分为六部分。第一部分提出概念、类、外延等基本概念，第二部分介绍对角线直观，第三至第六部分依次讲述了康托尔对角线定理、罗素悖论、斯塔基定理和哥德尔定理。
邢教授从关于“多上之一”的论证开始此次演讲。“多上之一”即引入“性质”来解释个体的相似，比如很多东西都是白的，那么“……是白的”就是共有的性质。邢教授将“多上之一”称为“概念”。每个“一”都是从某个“多”抽象而来的，因此每个概念（“一”）对应一个类（“多”），即为概念的外延。严格来说，概念F的外延={x:F(x)=真}这个类。因此会有个体、个体的类、个体的类的类……从类的角度看，“这只粉笔是白的”是真的，iff（当且仅当）这只粉笔∈（属于）白类。“白是一种颜色是真的”，iff白∈颜色类……这是西方传统世界观和思想方式的基本框架，逻辑的根本任务之一是澄清这个框架结构。
随后，邢老师介绍了对角线直观。随便取两个（不同的）东西，用1和0代表，如表1：
表1
1 0 0 1 0 0 1 1 …
1 1 1 0 1 1 1 0 …
0 0 1 0 1 1 1 1 …
…
标红的数字是每一行与对角线的“同位交点”。根据二值原理，即任何命题非真即假（排中律），但不能既真又假（矛盾律），可以得出一条基本定理：此表中不存在一行，恰好构成对角线的反转序列（和对角线上的数字正好相反）。因为如果存在这样的序列，那么此序列的“同位交点”既是1又是0，明显矛盾。
利用这个对角线直观，可以得出康托尔定理。“自然数”的外延是N={0,1,2,…}，称一个从N到{0，1}的函数为N-函数，每一个N-函数是一个关于自然数的概念，其外延是N的一个子集，试用自然数把N-函数“数出来”，如表2：
表2
f0：f0 (0) f0 (1) f0(2)…
f1：f1(0)f1(1)f1(2)…
f2：f2(0)f2(1)f2(2)…
…
对角线fx(x)：f0 (0)、f1 (1)、f2 (1)……仍是一个N-函数，反转函数1-fx(x)也是，根据“基本定理”，反转函数不在表2中，所以，N-函数多于自然数（N的子集多于自然数）。根据这个推理，就可以得到康托尔定理：对于任意类A，A-函数（A-概念、A-子类）多于A中元素。
考虑“概念”这个概念，令C为所有概念组成的类，那么C的数目有多少？一方面根据康托尔定理，C-概念多于C中元素；另一方面，C-概念不多于C中元素（C已包含所有概念），明显矛盾，这是罗素悖论的一种表达。对于这个悖论罗素的解决方案是，对角线“概念”f(f)是由全体概念定义的，因此不能再成为一个概念，否则其定义将指射本身，而导致恶性循环。
根据以上推理方式，还能够推出应用于形式语言的塔斯基定理，以及将“真”与“假”替换为“可证”和“不可证”之后得到的哥德尔第一不完全性定理。逻辑的推理过程很复杂，但是邢教授只描述技术性结果背后的直观想法，试图提供一个范例，显示直观与形式的互动，以及哲学、逻辑与数学的某种统一性。
报告结束后，邢教授与在座师生进行了互动交流。讲座在热烈的掌声中圆满结束。
【文/邵鹏，图/何涓】
【主讲人简介】
邢滔滔，北京大学本科、硕士、博士，现为北京大学哲学系副教授。研究领域为逻辑学、数学哲学与宗教哲学。
